Как да начертаете квадратно уравнение: 10 стъпки (със снимки)

2024 Автор: Robert Blare | [email protected]. Последно модифициран: 2024-02-02 02:06

Когато се начертаят, квадратни уравнения на формата брадва² + bx + c или a (x - h)² + к дават гладка U-образна или обратна U-образна крива, наречена парабола. Начертаването на квадратно уравнение е въпрос на намиране на неговия връх, посока и често неговите прихващания x и y. В случаите на относително прости квадратни уравнения може също да е достатъчно да включите диапазон от стойности x и да начертаете крива въз основа на получените точки. Вижте Стъпка 1 по -долу, за да започнете.

Стъпки

Стъпка 1. Определете каква форма на квадратно уравнение имате

Квадратното уравнение може да бъде записано в три различни форми: стандартна форма, форма на връх и квадратна форма. Можете да използвате всяка от формите, за да начертаете квадратно уравнение; процесът на изобразяване на всеки е малко по -различен. Ако правите проблем с домашна работа, обикновено ще получите проблема в една от тези две форми - с други думи, няма да можете да избирате, така че е най -добре да разберете и двете. Двете форми на квадратно уравнение са:

• Стандартна форма.

  В тази форма квадратното уравнение се записва като: f (x) = ax² + bx + c, където a, b и c са реални числа и a не е равно на нула.

  Например, две стандартни квадратни уравнения са f (x) = x² + 2x + 1 и f (x) = 9x² + 10x -8.

• Форма на върха.

  В тази форма квадратното уравнение се записва като: f (x) = a (x - h)² + k, където a, h и k са реални числа и a не е равна на нула. Формата на върховете е наречена така, защото h и k директно ви дават върха (централната точка) на вашата парабола в точката (h, k).

  Две уравнения на връхната форма са f (x) = 9 (x - 4)² + 18 и -3 (x - 5)² + 1

• За да начертаем някой от тези типове уравнения, първо трябва да намерим върха на параболата, която е централната точка (h, k) на "върха" на кривата. Координатите на върха в стандартна форма са дадени с: h = -b/2a и k = f (h), докато във върхова форма h и k са посочени в уравнението.

Стъпка 2. Определете вашите променливи

За да може да се реши квадратичен проблем, обикновено трябва да се определят променливите a, b и c (или a, h и k). Средната задача от алгебрата ще ви даде квадратно уравнение с попълнените променливи, обикновено в стандартна форма, но понякога и във форма на връх.

• Например, за стандартното уравнение f (x) = 2x² + 16x + 39, имаме a = 2, b = 16 и c = 39.
• За уравнението на върха f (x) = 4 (x - 5)² + 12, имаме a = 4, h = 5 и k = 12.

Стъпка 3. Изчислете h

В уравненията във формата на върхове стойността ви за h вече е дадена, но в уравненията в стандартна форма тя трябва да бъде изчислена. Не забравяйте, че за уравнения на стандартна форма h = -b/2a.

• В нашия пример за стандартна форма (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Решавайки, откриваме, че h = - 4.
• В нашия пример за върхова форма (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), ние знаем h = 5, без да правим математика.

Стъпка 4. Изчислете k

Както при h, k вече е известно в уравненията на върховете. За уравнения на стандартна форма не забравяйте, че k = f (h). С други думи, можете да намерите k, като замените всеки екземпляр от x във вашето уравнение със стойността, която току -що открихте за h.

• В нашия пример за стандартна форма сме определили, че h = -4. За да намерим k, решаваме уравнението с нашата стойност за h, заместваща x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Стъпка 7.

• В нашия пример за върхова форма отново знаем стойността на k (която е 12), без да се налага да правим математика.

Стъпка 5. Начертайте своя връх

Върхът на вашата парабола ще бъде точката (h, k) - h определя координатата x, докато k определя координатата y. Върхът е централната точка на вашата парабола - или самото дъно на "U", или самият връх на обърната надолу "U." Познаването на върха е съществена част от начертаването на точна парабола - често в училищната работа уточняването на върха ще бъде задължителна част от въпроса.

• В нашия пример за стандартна форма, нашият връх ще бъде на (-4, 7). Така че нашата парабола ще достигне върха на 4 интервала вляво от 0 и 7 интервала над (0, 0). Трябва да начертаем тази точка на нашата графика, като не забравяме да маркираме координатите.
• В нашия пример за връх, нашият връх е в (5, 12). Трябва да начертаем точка с 5 интервала вдясно и 12 интервала над (0, 0).

Стъпка 6. Начертайте оста на параболата (по избор)

Оста на симетрия на парабола е линията, преминаваща през средата й, която я разделя перфектно наполовина. През тази ос лявата страна на параболата ще отразява дясната страна. За квадратици на формата ax² + bx + c или a (x - h)² + k, оста е права, успоредна на оста y (с други думи, идеално вертикална) и преминаваща през върха.

В случая на нашия пример за стандартна форма, оста е права, успоредна на оста y и преминаваща през точката (-4, 7). Въпреки че не е част от самата парабола, лекото маркиране на тази линия на графиката ви в крайна сметка може да ви помогне да видите как параболата се извива симетрично

Стъпка 7. Намерете посоката на отваряне

След като разбрахме върха и оста на параболата, следва да знаем дали параболата се отваря нагоре или надолу. За щастие, това е лесно. Ако "а" е положително, параболата ще се отвори нагоре, докато ако "а" е отрицателна, параболата ще се отвори надолу (т.е. ще се обърне с главата надолу.)

• За нашия пример за стандартна форма (f (x) = 2x² + 16x + 39), ние знаем, че имаме парабола, отваряща се нагоре, защото в нашето уравнение a = 2 (положително).
• За нашия пример за върхова форма (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), знаем, че имаме и парабола, отваряща се нагоре, защото a = 4 (положително).

Стъпка 8. Ако е необходимо, намерете и начертайте x прихващания

Често по време на училищна работа ще бъдете помолени да намерите х-прихващания на парабола (които са или една или две точки, където параболата отговаря на оста x). Дори и да не ги намерите, тези две точки могат да бъдат безценни за изготвянето на точна парабола. Не всички параболи обаче имат х-прихващания. Ако вашата парабола има връх, който се отваря нагоре и има връх над оста x или ако се отваря надолу и има връх под оста x, няма да има х прихващания. В противен случай разрешете вашите прихващания x с един от следните методи:

• Просто задайте f (x) = 0 и решете уравнението. Този метод може да работи за прости квадратни уравнения, особено във формата на върхове, но ще се окаже изключително труден за по -сложни. Вижте по -долу за пример

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 и 13 са х-прихващанията на параболата.

• Разложи уравнението си на фактори. Някои уравнения в брадвата² + bx + c формата може лесно да бъде включена във формата (dx + e) (fx + g), където dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx и e × g = c. В този случай вашите прихващания на x са стойностите за x, които правят всеки термин в скоби = 0. Например:

  • х² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • В този случай единственото ви прихващане x е -1, защото настройката x, равна на -1, ще направи едно от факторизираните термини в скоби равно на 0.

• Използвайте квадратната формула. Ако не можете лесно да решите за прихващанията си x или да умножите уравнението си, използвайте специално уравнение, наречено квадратична формула, предназначена точно за тази цел. Ако още не е, вкарайте уравнението си във формуляр брадва² + bx + c, след това включете a, b и c във формулата x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. Обърнете внимание, че това често ви дава два отговора за x, което е ОК - това просто означава, че вашата парабола има два прихващания x. Вижте по -долу за пример:

  • -5 пъти² + 1x + 10 се включва в квадратната формула, както следва:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14.18)/-10
  • x = (13,18/-10) и (-15,18/-10). Прихващанията на параболата x са приблизително x = - 1.318 и 1.518
  • Нашият предишен пример за стандартен формуляр, 2x² + 16x + 39 се включва в квадратната формула, както следва:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • Тъй като намирането на квадратния корен от отрицателно число е невъзможно, ние знаем това няма х прихващания съществуват за тази конкретна парабола.

Стъпка 9. Ако е необходимо, намерете и начертайте y прихващането

Въпреки че често не е необходимо да се намери прихващане на уравнение y (точката, в която параболата преминава през оста y), в крайна сметка може да се наложи да го направите, особено ако сте в училище. Този процес е сравнително лесен - просто задайте x = 0, след това решете уравнението си за f (x) или y, което ви дава стойността y, при която вашата парабола преминава през оста y. За разлика от х прихващанията, стандартните параболи могат да имат само едно прихващане y. Забележка - за уравненията на стандартна форма, прихващането y е при y = c.

• Например, ние знаем нашето квадратно уравнение 2x² + 16x + 39 има прихващане y при y = 39, но може да се намери и по следния начин:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Прихващането на параболата y е в y = 39.

    Както бе отбелязано по -горе, прихващането y е при y = c.

• Нашето уравнение за връх 4 (x - 5)² + 12 има прихващане y, което може да се намери, както следва:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Прихващането на параболата y е в y = 112.

Стъпка 10. Ако е необходимо, начертайте допълнителни точки, след това нанесете графика

Сега трябва да имате връх, посока, х прихващане (и) и евентуално прихващане по y за вашето уравнение. В този момент можете или да опитате да нарисувате вашата парабола, като използвате точките, които имате като ориентир, или можете да намерите повече точки, за да "попълните" вашата парабола, така че кривата, която рисувате, да е по -точна. Най -лесният начин да направите това е просто да включите няколко x стойности от двете страни на върха си, след което да начертаете тези точки, като използвате стойностите y, които получавате. Често учителите ще изискват от вас да получите определен брой точки, преди да нарисувате параболата си.

• Нека преразгледаме уравнението x² + 2x + 1. Вече знаем, че единственото му прихващане x е при x = -1. Тъй като той само докосва прихващането на x в един момент, можем да заключим, че неговият връх е неговото прихващане x, което означава, че върхът му е (-1, 0). На практика имаме само една точка за тази парабола - не е достатъчно, за да нарисуваме добра парабола. Нека да намерим още няколко, за да сме сигурни, че съставяме точна графика.

  • Нека намерим стойностите на y за следните стойности на x: 0, 1, -2 и -3.
  • За 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Нашата точка е (0, 1).

  • За 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Нашата точка е (1, 4).

  • За -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Нашата точка е (-2, 1).

  • За -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Нашата точка е (-3, 4).

  • Начертайте тези точки към графиката и начертайте вашата U-образна крива. Имайте предвид, че параболата е напълно симетрична - когато точките ви от едната страна на параболата лежат върху цели числа, обикновено можете да си спестите малко работа, като просто отразявате дадена точка през оста на симетрия на параболата, за да намерите съответната точка от другата страна на параболата.

Видео - С помощта на тази услуга може да се сподели част от информацията с YouTube

Съвети

• Забележете, че в f (x) = ax² + bx + c, ако b или c е равно на нула, тези числа изчезват. Например 12x² + 0x + 6 става 12x² + 6, защото 0x е 0.
• Закръглете числата или използвайте дроби, както ви казва учителят по алгебра. Това ще ви помогне да начертаете правилно вашите квадратни уравнения.