Парабола е графика на квадратична функция и е гладка крива с "U" форма. Параболите също са симетрични, което означава, че могат да бъдат сгънати по линия, така че всички точки от едната страна на линията на сгъване да съвпадат със съответните точки от другата страна на линията на сгъване. Линията на сгъване, наречена оста на симетрия, е вертикалната линия, която минава през верекса. Всяка точка на параболата е на равно разстояние от фиксирана точка (фокусът) и фиксирана права линия (директрисата). За да начертаете парабола, трябва да намерите нейния връх, както и няколко точки от двете страни на върха, за да маркирате пътя, по който се движат точките.
Стъпки
Част 1 от 2: Начертаване на парабола
Стъпка 1. Разберете частите на парабола
Може да ви бъде предоставена определена информация преди започване и познаването на терминологията ще ви помогне да избегнете всякакви ненужни стъпки. Ето частите от параболата, които трябва да знаете:
- Фокусът. Фиксирана точка от вътрешността на параболата, която се използва за официалното определяне на кривата.
- Директрисата. Фиксирана, права линия. Параболата е локусът (серията) на точките, в които всяка дадена точка е на равно разстояние от фокуса и директрисата. (Вижте диаграмата по -горе.)
- Оста на симетрията. Това е права линия, която преминава през точката на завъртане („връх“) на параболата и е на равно разстояние от съответните точки на двата рамена на параболата.
- Върхът. Точката, където оста на симетрия пресича параболата, се нарича върхът на параболата. Ако параболата се отвори нагоре или надясно, върхът е минимална точка на кривата. Ако се отвори надолу или наляво, върхът е максимална точка.
Стъпка 2. Познайте уравнението на парабола
Общото уравнение на парабола е y = ax2+ bx + c. Може да се запише и в още по -обща форма y = a (x - h) ² + k, но тук ще се съсредоточим върху първата форма на уравнението.
- Ако коефициентът a в уравнението е положителен, параболата се отваря нагоре (във вертикално ориентирана парабола), подобно на буквата "U", а нейният връх е минимална точка. Ако а е отрицателно, параболата се отваря надолу и има връх в максималната си точка. Ако имате проблеми с запомнянето на това, помислете за това по следния начин: уравнение с положителна стойност изглежда като усмивка; уравнение с отрицателна стойност изглежда като намръщено.
- Да приемем, че имате следното уравнение: y = 2x2 -1. Тази парабола ще бъде оформена като "U", защото стойността (2) е положителна.
- Ако уравнението има квадратен y член вместо квадрат на x член, параболата ще бъде ориентирана хоризонтално и ще се отвори странично, надясно или наляво, като "C" или назад "C." Например параболата y2 = x + 3 се отваря вдясно, като "C."
Стъпка 3. Намерете оста на симетрия
Не забравяйте, че оста на симетрията е права линия, която преминава през точката на завъртане (върха) на параболата. В случай на вертикална парабола (отваряща се нагоре или надолу), оста е същата като координатата x на върха, която е стойността на x на точката, в която оста на симетрия пресича параболата. За да намерите оста на симетрия, използвайте тази формула: x = -b/2a.
- В горния пример (y = 2x² -1), a = 2 и b = 0. Сега можете да изчислите оста на симетрия, като включите числата: x = -0 / (2) (2) = 0.
- В този случай оста на симетрия е x = 0 (което е оста y на координатната равнина).
Стъпка 4. Намерете върха
След като знаете оста на симетрия, можете да включите тази стойност за x, за да получите координатата y. Тези две координати ще ви дадат върха на параболата. В този случай ще включите 0 към 2x2 -1, за да получите координатата y. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. Върхът е (0, -1), а параболата пресича оста y по -1.
Координатите на върха понякога са известни като (h, k). В този случай h е 0 и k е -1. Уравнението за параболата може да бъде записано под формата y = a (x - h) ² + k. В тази форма върхът е точката (h, k) и не е нужно да правите никакви математически изчисления, за да намерите върха извън правилното тълкуване на графиката
Стъпка 5. Настройте таблица с избрани стойности на x
Създайте таблица с конкретни стойности на x в първата колона. Тази таблица ще ви даде необходимите координати, за да начертаете уравнението.
- Средната стойност на x трябва да е оста на симетрия в случай на "вертикална" парабола.
- Трябва да включите поне две стойности над и под средната стойност за x в таблицата с цел симетрия.
- В този пример поставете стойността на оста на симетрия (x = 0) в средата на таблицата.
Стъпка 6. Изчислете стойностите на съответните y-координати
Заместете всяка стойност на x в уравнението на параболата и изчислете съответните стойности на y. Вмъкнете тези изчислени стойности на y в таблицата. В този пример стойностите на y се изчисляват, както следва:
- За x = -2 y се изчислява като: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- За x = -1, y се изчислява като: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- За x = 0, y се изчислява като: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- За x = 1, y се изчислява като: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- За x = 2 y се изчислява като: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Стъпка 7. Вмъкнете изчислените стойности на y в таблицата
Сега, когато сте намерили поне пет двойки координати за параболата, почти сте готови да я начертаете. Въз основа на вашата работа вече имате следните точки: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Не забравяйте, че параболата е отразена (симетрична) по отношение на оста на симетрия. Това означава, че y координатите на точки директно по оста на симетрия една от друга ще бъдат еднакви. Y-координатите за x-координатите -2 и +2 са и 7; y-координатите за x-координатите -1 и +1 са 1 и т.н.
Стъпка 8. Начертайте точките на таблицата в координатната равнина
Всеки ред от таблицата образува координатна двойка (x, y) в координатната равнина. Начертайте всички точки, като използвате координатите, дадени в таблицата.
- Оста x е хоризонтална; оста y е вертикална.
- Положителните числа по оста y са над точката (0, 0), а отрицателните числа по оста y са под точката (0, 0).
- Положителните числа по оста x са вдясно от точката (0, 0), а отрицателните числа по оста x са отляво на точката (0, 0).
Стъпка 9. Свържете точките
За да начертаете параболата, свържете точките, очертани в предишната стъпка. Графиката в този пример ще изглежда като U. Свържете точките, като използвате леко извити (а не прави) линии. Това ще създаде най -точното изображение на параболата (която е поне леко извита по цялата си дължина). В двата края на параболата можете да нарисувате стрелки, насочени от върха, ако желаете. Това ще покаже, че параболата продължава за неопределено време.
Част 2 от 2: Преместване на графиката на парабола
Ако искате пряк път за преместване на парабола, без да се налага да намирате върха й отново и да начертаете отново няколко точки върху нея, ще трябва да разберете как да прочетете уравнението на парабола и да се научите да я измествате вертикално или хоризонтално. Започнете с основната парабола: y = x2. Това има своя връх при (0, 0) и се отваря нагоре. Точките върху него включват (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) и (2, 4). Можете да изместите парабола въз основа на нейното уравнение.
Стъпка 1. Преместете парабола нагоре
Помислете за уравнението y = x2 +1. Това измества първоначалната парабола с 1 единица нагоре. Върхът сега е (0, 1) вместо (0, 0). Той ще запази точната форма на оригиналната парабола, но всяка y-координата ще бъде изместена нагоре 1 единица. Така че, вместо (-1, 1) и (1, 1), ние начертаваме (-1, 2) и (1, 2).
Стъпка 2. Преместете парабола надолу
Вземете уравнението y = x2 -1. Преместваме първоначалната парабола надолу с 1 единица, така че върхът сега да е (0, -1) вместо (0, 0). Тя все още ще има същата форма на оригиналната парабола, но всяка y-координата ще бъде изместена надолу 1 единица. Така че, вместо (-1, 1) и (1, 1), например, ние начертаваме (-1, 0) и (1, 0).
Стъпка 3. Преместете парабола наляво
Помислете за уравнението y = (x + 1)2. Това измества първоначалната парабола с една единица наляво. Върхът сега е (-1, 0) вместо (0, 0). Той запазва формата на оригиналната парабола, но всяка x-координата се измества наляво за една единица. Вместо (-1, 1) и (1, 1) например, ние начертаваме (-2, 1) и (0, 1).
Стъпка 4. Преместете парабола надясно
Помислете за уравнението y = (x - 1)2. Това е оригиналната парабола, изместена с една единица надясно. Върхът сега е (1, 0) вместо (0, 0). Той запазва формата на оригиналната парабола, но всяка x-координата ще бъде изместена вдясно с една единица. Вместо (-1, 1) и (1, 1) например, ние начертаваме (0, 1) и (2, 1).
