Рационалната функция е уравнение, което приема формата y = N (x)/D (x), където N и D са полиноми. Опитът да се скицира точна графика от една на ръка може да бъде цялостен преглед на много от най -важните математически теми в гимназията от основна алгебра до диференциално смятане. Да разгледаме следния пример: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Стъпки
Стъпка 1. Намерете y прихващане
Просто задайте x = 0. Всичко освен постоянните членове изчезва, оставяйки y = 5/2. Изразявайки това като координатна двойка, (0, 5/2) е точка на графиката. Начертайте тази точка.
Стъпка 2. Намерете хоризонталната асимптота
Дълго разделете знаменателя на числителя, за да определите поведението на y за големи абсолютни стойности на x. В този пример разделянето показва, че y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). За големи положителни или отрицателни стойности на x, 17/(8 x + 4) се доближава до нула и графиката приближава линията y = (1/2) x - (7/4). Използвайки пунктирана или леко начертана линия, начертайте тази линия.
- Ако степента на числителя е по -малка от степента на знаменателя, няма да се прави деление и асимптотата е y = 0.
- Ако deg (N) = deg (D), асимптотата е хоризонтална линия в съотношението на водещите коефициенти.
- Ако deg (N) = deg (D) + 1, асимптотата е линия, чийто наклон е съотношението на водещите коефициенти.
- Ако deg (N)> deg (D) + 1, тогава за големи стойности на | x |, y бързо преминава към положителна или отрицателна безкрайност като квадратичен, кубичен или полином с по -висока степен. В този случай вероятно не си заслужава да се графира точно коефициентът на делението.
Стъпка 3. Намерете нулите
Рационалната функция има нула, когато нейният числител е нула, затова задайте N (x) = 0. В примера 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Дискриминантът на тази квадратна е b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Тъй като дискриминантът е отрицателен, N (x) и следователно f (x) няма реални корени. Графиката никога не пресича оста x. Ако са открити нули, добавете тези точки към графиката.
Стъпка 4. Намерете вертикалните асимптоти
Вертикална асимптота възниква, когато знаменателят е нула. Настройка 4 x + 2 = 0 дава вертикалната линия x = -1/2. Начертайте всяка вертикална асимптота със светла или пунктирана линия. Ако някаква стойност на x прави и N (x) = 0, и D (x) = 0, там може да има или да няма вертикална асимптота. Това е рядкост, но вижте съветите как да се справите с него, ако се случи.
Стъпка 5. Погледнете остатъка от разделението в стъпка 2
Кога е положително, отрицателно или нула? В примера числителят на остатъка е 17, който винаги е положителен. Знаменателят, 4 x + 2, е положителен вдясно от вертикалната асимптота и отрицателен вляво. Това означава, че графиката се доближава до линейната асимптота от горното за големи положителни стойности на x и отдолу за големи отрицателни стойности на x. Тъй като 17/(8 x + 4) никога не може да бъде нула, тази графика никога не пресича правата y = (1/2) x - (7/4). Не добавяйте нищо към графиката в момента, но отбележете тези заключения за по -късно.
Стъпка 6. Намерете локалните крайности
Локален екстремум може да възникне винаги, когато N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. В примера N '(x) = 4 x - 6 и D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Разгъване, комбиниране на термини и разделяне на 4 листа x 2 + x - 4 = 0. Квадратната формула показва корени в близост до x = 3/2 и x = -5/2. (Те се различават с около 0,06 от точните стойности, но нашата графика няма да бъде достатъчно точна, за да се притеснявате за това ниво на детайлност. Изборът на прилично рационално приближение улеснява следващата стъпка.)
Стъпка 7. Намерете y -стойностите на всеки локален екстремум
Включете x -стойностите от предишната стъпка обратно в първоначалната рационална функция, за да намерите съответните y -стойности. В примера f (3/2) = 1/16 и f (-5/2) = -65/16. Добавете тези точки, (3/2, 1/16) и (-5/2, -65/16), към графиката. Тъй като в предходната стъпка сме приблизителни, това не са точните минимуми и максимуми, но вероятно са близки. (Знаем (3/2, 1/16) е много близо до локалния минимум. От стъпка 3 знаем, че y винаги е положително, когато x> -1/2 и открихме стойност едва 1/16, така че поне в този случай грешката вероятно е по -малка от дебелината на линията.)
Стъпка 8. Свържете точките и плавно разширете графиката от известните точки до асимптотите, като внимавате да ги приближите от правилната посока
Внимавайте да не пресичате оста x, освен в точките, вече намерени в стъпка 3. Не пресичайте хоризонталната или линейната асимптота, освен в точките, вече намерени в стъпка 5. Не променяйте от наклонен нагоре към наклонен надолу, освен при крайността, открита в предишната стъпка.
Видео - Използвайки тази услуга, може да се сподели част от информацията с YouTube
Съвети
- Някои от тези стъпки могат да включват решаване на полином с висока степен. Ако не можете да намерите точни решения чрез факторизация, формули или други средства, тогава преценете решенията, използвайки числени техники като метода на Нютон.
- Ако следвате стъпките по ред, обикновено не е необходимо да използвате втори тестове за производни или подобни потенциално сложни методи, за да определите дали критичните стойности са локални максимуми, локални минимуми или нито едно от двете. Опитайте се да използвате информацията от предишните стъпки и първо малко логика.
- Ако се опитвате да направите това само с методи за предварително изчисление, можете да замените стъпките за намиране на локалните екстремуми, като изчислите няколко допълнителни (x, y) подредени двойки между всяка двойка асимптоти. Като алтернатива, ако не ви пука защо работи, няма причина ученикът преди изчисление да не може да вземе производната на полином и да реши N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
В редки случаи числителят и знаменателят могат да имат общ непостоянен фактор. Ако следвате стъпките, това ще се покаже като нула и вертикална асимптота на едно и също място. Това е невъзможно и това, което всъщност се случва, е едно от следните:
- Нулата в N (x) има по -голяма кратност от нулата в D (x). Графиката на f (x) в тази точка се доближава до нула, но там е неопределена. Посочете това с отворен кръг около точката.
- Нулата в N (x) и нулата в D (x) имат еднаква кратност. Графиката се доближава до ненулева точка за тази стойност на x, но там е неопределена. Отново посочете това с отворен кръг.
- Нулата в N (x) има по -ниска кратност от нулата в D (x). Тук има вертикална асимптота.
